在中专学校机械类各专业中，《互换性与测量技术基础》是一门重要的技术基础课，该课程内容十分丰富，而教学课时相对较少，许多重点和难点内容难以作详细讲解。其中形位公差与技术测量的内容学生理解掌握更 为困难，在四项形位公差中，直线度与平面度误差的测量是一般机械制造行业主要的检测项目，故要求学生重点学习和掌握。直线度误差的测量相对较为简单，而平 面度误差的测量及数据处理比较复杂，且理解困难。本文仅对平面度误差的测量和数据处理作较为详细的介绍，希望初学者能尽快掌握这一重点和难点内容。

  一、大理石平台平面度误差的测量 

平面度误差是指被测实际表面对其理想平面的变动量。 

平面度误差是将被测实际表面与理想平面进行比较，两者之间的线值距离即为平面度误差值；或通过测量实际表面上若干点的相对高度差，再换算以线值表示的平面度误差值。 

  度误差测量的常用方法有如下几种： 

1、平晶干涉法：用光学平晶的工作面体现理想平面，直接以干涉条纹的弯曲程度确定被测表面的平面度误差值。主要用于测量小平面，如量规的工作面和千分尺测头测量面的平面度误差。 

2、打表测量法：打表测量法是将被测零件和测微计放在标准平板上，以标准平板作为测量基准面，用测微计沿实际表面逐点或沿几条直线方向进行测量。打表测量 法按评定基准面分为三点法和对角线法：三点法是用被测实际表面上相距最远的   点所决定的理想平面作为评定基准面，实测时先将被测实际表面上相距最远的三点 调整到与标准平板等高；对角线法实测时先将实际表面上的四个角点按对角线调整到两两等高。然后用测微计进行测量，测微计在整个实际表面上测得的最大变动量 即为该实际表面的平面度误差。 

3、液平面法：液平面法是用液平面作为测量基准面，液平面由 “连通罐”内的液面构成，然后用传感器进行测量。此法主要用于测量大平面的平面度误差。 

4、光束平面法：光束平面法是采用准值望远镜和瞄准靶镜进行测量，选择实际表面上相距最远的三个点形成的光束平面作为平面度误差的测量基准面。 

除上述方法可测量平面度误差外，还有采用平面干涉仪、水平仪、自准直仪等用于测量大型平面的平面度误差。

  二、大理石平台平面度误差的评定方法 

平面度误差的评定方法有：三远点法、对角线法、最小二乘法和最小区域法等四种。 

1、三远点法：是以通过实际被测表面上相距最远的三点所组成的平面作为评定基准面，以平行于此基准面，且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值。 

2、对角线法：是以通过实际被测表面上的一条对角线，且平行于另一条对角线所作的评定基准面，以平行于此基准面且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值。 

3、最小二乘法：是以实际被测表面的最小二乘平面作为评定基准面，以平行于最小二乘平面，且具有最小距离的两包容平面间的距离作为平面度误差值。最小二乘平面是使实际被测表面上各点与该平面的距离的平方和为最小的平面。此法计算较为复杂，一般均需计算机处理。 

4、最小区域法：是以包容实际被测表面的最小包容区域的宽度作为平面度误差值，是符合平面度误差定义的评定方法。 

  三、大理石平台平面度误差的数据处理 

由上述平面度误差的测量方法和评定方法阐述可知，测量方法和评定方法不同，数据处理的方法也不相同。选定某一测量方法和评定方法，可能直接得到实际表面的 平面度误差值，如采用打表法进行测量，再用对角线法评定其平面度误差，则可不必进行数据处理，可直接得到测量结果；采用水平仪进行测量，则不论采用何种评 定方法，均需进行数据处理；而对于任何一种测量方法，如果按最小区域法来评定其平面度误差，都必须进行数据处理才能得到平面度误差值。 

另外，还应注意到，测量基准面和评定基准面一般是不重合的（或说不平行的）。尤其是符合最小条件的评定基准面的位置是按实际表面的形状确定的，不可能在测 量之前预先确定，如图一所示。且测量所得到的原始数据中的最大值与最小值并不一定是实际表面上的最高点和最低点，故在数据处理之前，一般应根据所测数据对 实际表面的形状特征进行大致分析，初步判断实际表面是凸形、凹形、鞍形或其它复杂形态，以免过多重复计算花费时间，必要时还可画出其数据空间分布示意图， 进而确定其评定基准面。 

数据处理方法有：解析法、坐标变换法和投影作图法等。其中坐标变换法对数据处理带有一般性，应该熟练掌握。 

坐标变换法是将被测实际表面上各点对测量基准面的坐标值，转换为与评定方法相对应的评定基准面的坐标值。由于评定基准面的旋转可使各测得值产生不同的变 化，从而获得不同的评定结果。坐标变换法又称为旋转法，其实质是在测得数据上加上一对应的等差数列。各测点的旋转量如图二所示。 

当采用最小区域法评定实际表面的平面度误差时，最小区域法判别准则亦应熟练掌握，才能在数据处理之前做到胸有成竹，避免过多重复计算而少走弯路。平面度最 小区域的判别准则是：由两平行平面包容实际被测要素时，实现至少三点或四点接触，且具有下列形式之一者，即为最小区域 最大值与最小值可直接得到被测表面的平面度误差值为： 

f1= 90-(-50)=140μm。 

2、三远点法确定平面度误差 

选择a3、b1、c 2三点组成的三角形作为评定基准面，采用旋 

转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始 

数据各对应点相加，可得评定数据如图五所示。 

建立方程组： 解之得： 

由评定数据可知，过最高点b2 ＝115和最低点a1=0，可作两包容平面且平行a 3=b1=c3=5 组成的三角形评定基准面，则被测实际表面的平面度误差值为：f 2 =115 - 0 =115μm。 

3、最小包容区域法确定平面度误差 

由原始数据分析，实际表面为凸型，可实现三角形准则，今选择a1、a3、c2三点组成的三角形平面作为一个包容平面，采用旋转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始数据各对应点相加，可得评定数据如图六所示。 

建立方程组： 解之得： 

由评定数据可知，最高点b2 =111.75，最低点a1=a3=c2 =0，其余各点的坐标值均在最高点与最低点之间，过最高点和最低点作两包容平行平面，符合最小包容区域的准则，故被测实际表面的平面度误差值为：f3=111.75 - 0=111.75μm.。 

例二、用水平仪测量某实际表面的平面度误差，所测数据按测量顺序累积后，各测点坐标值（单位：μm），如图七所示，试确定其平面度误差值。 

解：采用水平仪测量，不可能直接得到测量结果，现采用坐标变换法进行数据处理，以适用不同评定方法获得实际表面的平面度误差值。 

1、 对角线法确定平面度误差 

将两对角线的测得值旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与 

最大值与最小值可直接得到被测表面的平面度误差值为： 

f1= 90-(-50)=140μm。 

2、三远点法确定平面度误差 

选择a3、b1、c 2三点组成的三角形作为评定基准面，采用旋 

转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始 

数据各对应点相加，可得评定数据如图五所示。 

建立方程组： 解之得： 

由评定数据可知，过最高点b2 ＝115和最低点a1=0，可作两包容平面且平行a 3=b1=c3=5 组成的三角形评定基准面，则被测实际表面的平面度误差值为：f 2 =115 - 0 =115μm。 

3、最小包容区域法确定平面度误差 

由原始数据分析，实际表面为凸型，可实现三角形准则，今选择a1、a3、c2三点组成的三角形平面作为一个包容平面，采用旋转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始数据各对应点相加，可得评定数据如图六所示。 

建立方程组： 解之得： 

1、一个最高（低）点在另一包容平面上的投影位于三个最低（高）点所形成的三角形区域内，称为三角形的准则，如图三（a）、（b）所示。 

2、两个最高点的连线与两个最低点的连线在包容平面上的投影相交，称为交叉准则，如图三（c）所示。 

3、一个最高（低）点在另一个包容平面上的投影位于两个最低（高）点的连线上，称为直线准则。如图三（d）所示，直线准则是三角形准则和交叉准则的特殊情况

  四、大理石平台举例 

例一、用打表法测量某实际表面的平面度误差数据（单位μm），如图四所示，试确定其平面度误差值。 

解：1、对角线法确定平面度误差 

因实测数据两对角线已等高，不必再进行数据处理，根据实测数据的由评定数据可知，最高点b2 =111.75，最低点a1=a3=c2 =0，其余各点的坐标值均在最高点与最低点之间，过最高点和最低点作两包容平行平面，符合最小包容区域的准则，故被测实际表面的平面度误差值 为：f3=111.75 - 0=111.75μm.。 

例二、用水平仪测量某实际表面的平面度误差，所测数据按测量顺序累积后，各测点坐标值（单位：μm），如图七所示，试确定其平面度误差值。 

解：采用水平仪测量，不可能直接得到测量结果，现采用坐标变换法进行数据处理，以适用不同评定方法获得实际表面的平面度误差值。 

1、 对角线法确定平面度误差 

将两对角线的测得值旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始数据各对应点相加，可得评定数据如图八所示。 

建立方程组： 解之得： 

根据评定数据可得被测实际表面的平面度误差值为：f 1=37-(-7.5)=44.5μm。 

2、三远点法确定平面度误差 

选择a2、b1、c 3三点组成的三角形作为评定基准面，采用旋转法将此三点旋转至等高，计算旋转量，并将各点旋转量与原始数据各对应点相加，可得评定数据如图九所示。 

建立方程组： 解之得： 小包容区域准则，不在交叉线上的其余点均可落在此包容区域内，故实际被测表面的平面度误差值为：f3=32-(-10)=42μm。 

例三、某被测实际表面的平面度误差数据（单位：μm），如图十一所示，数据处理采用投影作图法，试按最小包容区域法评定其平面度误差值。 

解：投影作图法实质是画法几何基础理论中的投影变换法，其中有换面法和旋转法。将实测数据置于投影体系中，对选定的评定基准面变换成某投影面的垂直面，即可根据相应的评定方法确定被测实际表面的平面度误差值。 

根据被测实际表面的原始数据判断为凸形表面，可实现三角形准则。画出各测点的空间分布示意图，如图十二所示。选择a 3、b1、c2三点组成一个三角形包容平面，若过最高点b 2作另一包容平面，则可实现最小包容区域准则。     

今采用换面法确定其平面度误差，将各测点向V/H投影体系中进行投影，并将a3、b1、c2 三点组成的三角形平面变换成V1/H新投影体系中的垂直面，其余测点都向V1面投影，过最高点b 2作平行线与垂直面平行，可见其余测点均在两平行线之间，如图十三所示。则被测实际表面的平面度误差为两平行线之间的坐标值：f=54μm。 若采用投影变换法中的旋转法亦可确定其平面度误差值，在此不再赘述。 

由以上三例分析计算可知，数据处理采用坐标变换旋转法对各种评定方法带有普遍性，在多作练习和理解之后不难掌握，投影作图法有一定的直观性，当按最小区域 法评定平面度误差时，能较方便地确定基准包容平面。当然实际测量中，所测数据可能多于9个 ，且数值不一定是简单的整数值，故数据处理还是比较繁复的。